题目内容
【题目】如图，四棱锥
，
，
，
，
为等边三角形，平面
平面
，
为
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明
及
，即可证明：
平面
，问题得证。
（2）建立空间直角坐标系，由（1）得
为平面的法向量，求得平面
的法向量为
，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角
的余弦值.
（1）证明：因为
，
，
所以
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
所以
平面
.
又
平面，所以，
因为
为
中点，且
为等边三角形，所以.
又
，所以平面.
（2）取
中点为
，连接
，因为为等边三角形，所以
，
因为平面平面，所以
平面，
所以
，由
，
，
可知
，所以
.
以中点为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
由（1）知，
为平面的法向量，
因为为的中点，
所以
，
所以，
设平面的法向量为
，
由
，得
，
取
，则.
所以
.
因为二面角为钝角，
所以，二面角的余弦值为.
【题目】某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别 | 选考方案确定情况 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
男生 | 选考方案确定的有6人 | 6 | 6 | 3 | 1 | 2 | 0 |
选考方案待确定的有8人 | 5 | 4 | 0 | 1 | 2 | 1 | |
女生 | 选考方案确定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
选考方案待确定的有6人 | 5 | 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）
（Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
