题目内容
17.f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上单调递减,则b的取值范围是( )A. | (-∞,-1) | B. | (-1,+∞) | C. | [-1,+∞) | D. | (-∞,-1] |
分析 求出原函数的定义域,要使原函数在定义域内是单调减函数,则其导函数在定义域内恒小于等于0,原函数的导函数的分母恒大于0,
只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可,根据二次项系数大于0,且对称轴在定义域范围内,所以二次三项式对应的抛物线开口向上,只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0,由此解得b的取值范围.
解答 解:由x+2>0,得x>-2,所以函数f(x)=x2+bln(x+2)的定义域为(-2,+∞),
再由f(x)=x2+bln(x+2),得:
要使函数f(x)在其定义域内是单调减函数,则f′(x)在(-1,+∞)上恒小于等于0,
因为x+2>0,
令g(x)=x2+2x-b,则g(x)在(-1,+∞)上恒大于等于0,
函数g(x)开口向上,且对称轴为x=-1,
所以只有当△=22+4×b≤0,即b≤-1时,g(x)≥0恒成立.
所以,使函数f(x)在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是(-∞,-1].
故答案为:D
点评 本题考查了函数的单调性与导数之间的关系,一个函数在其定义域内的某个区间上单调减,说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0.此题是中档题.
A. | A种 | B. | 45种 | C. | 54种 | D. | C种 |
A. | 必要条件 | B. | 充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 非充分非必要条件 |
A. | 1 | B. | 2 | C. | 2 | D. | 4 |