题目内容
已知数列满足递推式:.
(Ⅰ)若,求与的递推关系(用表示);
(Ⅱ)求证:.
(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)要得与的递推关系,首先找到与的递推关系.由,
代入与的递推关系便可得与的递推关系.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:
数列中涉及前项和的不等式的证明,一般有两个大的方向,一种是先求和,后放缩;一种是先放缩,后求和.在本题中显然不可能先求和.所以选择先放缩后求和的方法.本题中还是一个有绝对值符号的式子,所以还应去掉绝对值符号.在去绝对值符号时,需要对分奇数与偶数讨论:,注意这里的分母,一个是加1,一个是减1,这种情况下,不能单独放缩,而是将两项相加后再放缩.
,这样再分是奇数和偶数,就可使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)…………………①
代入①式得,
即.
(Ⅱ).
对分奇数与偶数讨论:,则
,则
;
又
.
综上所述,原不等式成立.
考点:1、递推数列;2、不等式的证明.
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