题目内容

2013年我国汽车拥有量已超过2亿(目前只有中国和美国超过2亿),为了控制汽车尾气对环境的污染,国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者,同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限量上号政策,已知2013年年初汽车拥有量为=100万辆),第年(2013年为第1年,2014年为第2年,依次类推)年初的拥有量记为,该年的增长量的乘积成正比,比例系数为其中=200万.
(1)证明:
(2)用表示;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.

(1)详见解析;(2),能.

解析试题分析:(1)先由条件列出,再证明,将=200代入,化简后得到的显然成立.从而证明的本题;(2)由代入.即用表示了.再用数学归纳法证明即可.
试题解析:(1)依题                           2分
 只需证明,即证.
上式显然成立,所以.                               5分
(2),所以
按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内,即.       6分
证明如下:当时,,显然成立.
假设时,成立.
则当时 ,是关于的一个二次函数,

其对称轴,所以
,即.
综上所述,成立.即该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.      13分
考点:1.数列的递推公式;2.不等式;3.数学归纳法.

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