题目内容
已知数列是等差数列,且,;又若是各项为正数的等比数列,且满足,其前项和为,.
(1)分别求数列,的通项公式,;
(2)设数列的前项和为,求的表达式,并求的最小值.
(1) , ;(2),.
解析试题分析:(1)首先设出公差和公比,根据已知条件及等比数列和等差数列的性质,列方程组解方程组,求得公差和公比,写出各自的通项公式;(2)因为取偶数和奇数时,数列的项数会有变化,所以对分取偶数和奇数两种情况进行讨论,根据等差数列和等比数列的前项和公式,求出的表达式,根据前后两项的变化确定的单调性,求得每种情况下的最小值,比较一下,取两个最小值中的较小者.
试题解析:(1)设数列的公差是,的公比为,
由已知得,解得,所以; 2分
又,解得或(舍去),所以; .4分
(2)当为偶数时,,
当为奇数时. .10分
当为偶数时,,所以先减后增,
当时,,所以;
当时,,所以;
所以当为偶数时,最小值是. 12分
当为奇数时,,所以先减后增,
当时,,所以,
当时,,所以,
所以当为奇数时,最小值是.
比较一下这两种情况下的的最小值,可知的最小值是. .14分
考点:1、等差数列与等比数列的前项和公式;2、数列与函数单调性的综合应用;3、数列与求函数最值的综合运用;4、数列的函数特性.
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