题目内容
【题目】已知顶点为原点的抛物线
,焦点
在
轴上,直线
与抛物线
交于
、
两点,且线段
的中点为
.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)若直线与抛物线
交于异于原点的
、
两点,交
轴的正半轴于点
,且有
,直线
,且
和
有且只有一个公共点
,请问直线
是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
【答案】(1);(2)是,直线
过定点
.
【解析】
(1)设抛物线的标准方程为
,求出点
的坐标,将点
的坐标代入抛物线
的方程,求出
的值,由此可求得抛物线
的标准方程;
(2)设点,
,
,由条件
可得出
,可求出直线
的斜率,由此可设直线
的方程为
,与抛物线
的方程联立,由
可得出
,分
与
两种情况讨论,求出直线
的方程,即可得出直线
所过定点的坐标.
(1)由题意设抛物线的标准方程为
,
因为的中点为
,所以
的坐标为
,
将点的坐标代入抛物线
的方程,得
,可得
,
因此,抛物线的标准方程为
;
(2)由(1)知,设
,
,
因为,则
,
由,可得
,即
,所以,直线
的斜率
,
因为直线,设直线
的方程为
,
代入抛物线的方程可得
,
因为且和
有且只有一个公共点
,可得
,解得
,
设,则
,
,即
,
当时,
,
可得直线的方程为
,
由时,代入整理
,即直线
恒过定点
;
当,直线
的方程为
,过点
,
综上,可知直线过定点
.
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