Question

【题目】已知椭圆的标准方程为，点．

（Ⅰ）经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，求．

（Ⅱ）问是否存在直线与椭圆交于两点、且，若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线斜率的取值范围是.

【解析】分析：（Ⅰ）求直线与圆锥曲线的相交弦长，可求两个交点的坐标。根据条件可求得直线的方程为，将其与椭圆方程联立得求得两个交点坐标。进而用两点间距离公式可得。（Ⅱ）要求是否存在直线，可设出直线的方程，两个交点，。中点，由，可得，进而得。所以需求点的坐标。将直线与椭圆联立可得：，消去得，则由，可得 ①

由一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式可得，根据点在直线上，可得。进而可得。化简可得，代入可得，化简可解得。

详解：（Ⅰ）经过点且倾斜角为，

所以直线的方程为，

联立，解得或，

∴．

（Ⅱ）设直线，，，

将直线与椭圆联立可得：

，消去得，

∴，

∴ ① ，

∴，，

设中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴代入①可得：，

∴，解得．

故直线斜率的取值范围是．