Question

【题目】已知函数f（x）=axex ， 其中常数a≠0，e为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若直线y=e（x﹣ ）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（ex+xex）=a（1+x）ex ， 若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），
由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），
若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），
由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），
即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣ ，无极小值；
（Ⅲ）设切点为（m，amem），
则对应的切线斜率k=f′（m）=a（1+m）em ，
则切线方程为y﹣amem=a（1+m）em（x﹣m），
即y=a（1+m）em（x﹣m）+amem=a（1+m）emx﹣ma（1+m）em+amem=a（1+m）emx﹣m2aem ，
∵y=e（x﹣ ）=y=ex﹣ e，
∴
∴ ，
即若直线y=e（x﹣ ）是曲线y=f（x）的切线，则实数a的值是
【解析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，amem），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．