Question

【题目】设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．

（1）设，若对均成立，求d的取值范围；

（2）若，证明：存在，使得对n=2，3，···，m+1均成立，并求d的取值范围（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）．（2）.

【解析】

（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式即可；

（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可.

解：（1）由条件知：．

因为对n=1，2，3，4均成立，

即对n=1，2，3，4均成立，

即得

因此，d的取值范围为．

（2）由条件知：．

若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，

即，

即当时，d满足．

因为，则，

从而，对均成立．

因此，取d=0时，对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．

①当时，，

当时,有，从而.

因此，当时，数列单调递增，

故数列的最大值为．

②设，当时，，

所以单调递减，从而<f（0）=1．

当时，，

因此，当时，数列单调递减，

故数列的最小值为．

因此，d的取值范围为．