题目内容

3.过抛物线y2=2px(p为大于0的常数)的焦点F,作与坐标轴不垂直的直线l交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交x轴于Q点,求PQ中点R的轨迹L的方程.

分析 由抛物线方程求出焦点坐标,再由题意设出直线l的方程为$y=k(x-\frac{p}{2})$(k≠0),联立直线方程和抛物线方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系得到P点坐标,结合PQ⊥l,求得PQ的方程,再设R的坐标为(x,y),再由中点坐标公式求得PQ的中点R的轨迹L的方程.

解答 解:抛物线y2=2px的焦点为$(\frac{p}{2},0)$,设l的直线方程为$y=k(x-\frac{p}{2})$(k≠0).
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2px\\ y=k(x-\frac{p}{2})\end{array}\right.$得${k^2}{x^2}-(p{k^2}+2p)x+\frac{1}{4}{p^2}{k^2}=0$,设M,N的横坐标分别为x1,x2
则${x_1}+{x_2}=\frac{{p{k^2}+2p}}{k^2}$,得${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}$,${y_P}=k(\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}-\frac{p}{2})=\frac{p}{k}$,
而PQ⊥l,故PQ的斜率为$-\frac{1}{k}$,PQ的方程为$y-\frac{p}{k}=-\frac{1}{k}(x-\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}})$.
代入yQ=0得${x_Q}=p+\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}=\frac{{3p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}$.
设动点R的坐标(x,y),则$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}({x_P}+{x_Q})=p+\frac{p}{k^2}\\ y=\frac{1}{2}({y_P}+{y_Q})=\frac{p}{2k}\end{array}\right.$,因此$p(x-p)=\frac{p^2}{k^2}=4{y^2}(y≠0)$,
故PQ中点R的轨迹L的方程为4y2=p(x-p)(y≠0).

点评 本题考查了轨迹方程的求法,考查了学生的灵活变形能力和整体运算能力,灵活性强,属于中档题.

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