题目内容

1.函数f(x)=sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos(2x+$\frac{π}{4}$)
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=$\sqrt{3}$且f($\frac{B}{2}$+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{8}$,求△ABC的面积最大值.

分析 (1)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f(x)=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$sin2x,由周期公式即可得解.
(2)利用诱导公式化简已知等式可得cosB=$\frac{3}{4}$,由余弦定理及基本不等式可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}≥\frac{2ac-3}{2ac}$,解得ac≤6,由三角形面积公式即可得解.

解答 解:∵f(x)=sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos(2x+$\frac{π}{4}$)
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(cos2xcos$\frac{π}{4}$-sin2xsin$\frac{π}{4}$)$+\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$sin2x
①T=$\frac{2π}{2}=π$.…(5分)
②∵f($\frac{B}{2}$+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$sin(B+$\frac{π}{2}$)=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cosB=$\frac{1}{8}$,
∴cosB=$\frac{3}{4}$,
在△ABC中,cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}≥\frac{2ac-3}{2ac}$,得ac≤6,
∴当a=c=$\sqrt{6}$时,${S}_{△ABC}≤\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$.…(12分)

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,周期公式,诱导公式,三角形面积公式,余弦定理及基本不等式的应用,属于基本知识的考查.

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