题目内容

13.如图,由曲线y=x2和直线y=t2(0<t<1),x=1,x=0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是$\frac{1}{4}$.

分析 利用定积分表示出阴影部分的面积,计算定积分得到关于t的式子,求最小值.

解答 解:由曲线y=x2和直线y=t2(0<t<1),x=1,x=0所围成的图形(阴影部分)的面积为:S=${∫}_{0}^{t}({t}^{2}-{x}^{2})dx+{∫}_{t}^{1}({x}^{2}-{t}^{2})dx$=(t2x-$\frac{1}{3}{x}^{3}$)|${\;}_{0}^{t}$+($\frac{1}{3}{x}^{3}$-t2x)|${\;}_{t}^{1}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}+\frac{1}{3}-{t}^{2}+\frac{2}{3}{t}^{3}$=$\frac{4}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{1}{3}$,
令S'=4t2-2t=0,解得t=$\frac{1}{2}$或t=0,而0<t<1,所以当t=$\frac{1}{2}$时,阴影部分的面积最小为$\frac{1}{4}$;
故答案为:$\frac{1}{4}$.

点评 本题考查了定积分的应用,关键是正确利用定积分表示阴影部分的面积.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网