Question

7．已知数列{a_n}，a₁=$\frac{{a}_{2}}{2}$=1且a_n+a_n+1=a_n+2（?_n∈N^*），S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$．求证：存在正整数M，使得对任意的n＞M都有2＜S_n＜3（n∈N^*）．

Answer 1

分析 a₁=$\frac{{a}_{2}}{2}$=1且a_n+a_n+1=a_n+2（?_n∈N^*），可得a₃=a₁+a₂=1+2=3，同理可得a₄=5，a₅=8，a₆=13．于是S₄=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{61}{30}$＞2．
下面证明：存在正整数M=3，使得对任意的n＞M都有2＜S_n＜3（n∈N^*）．
①S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，可得：数列{S_n}是单调递增数列，即可证明：对任意的n＞M都有2＜S_n（n∈N^*）．
②$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{{a}_{6}}$=$\frac{1}{13}$$＜\frac{1}{8}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{a}_{7}}$=$\frac{1}{21}$＜$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{1}{34}$$＜\frac{1}{32}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，…，因此当n≥6时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-2}+{a}_{n-1}}$＜$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，即可证明S_n＜3．

解答 证明：∵a₁=$\frac{{a}_{2}}{2}$=1且a_n+a_n+1=a_n+2（?_n∈N^*），
∴a₃=a₁+a₂=1+2=3，同理可得a₄=5，a₅=8，a₆=13．
则S₄=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$=$\frac{61}{30}$＞2．
下面证明：存在正整数M=3，使得对任意的n＞M都有2＜S_n＜3（n∈N^*）．
①∵S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴数列{S_n}是单调递增数列，
因此使得对任意的n＞M都有2＜S_n（n∈N^*）．
②$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{8}$，
$\frac{1}{{a}_{6}}$=$\frac{1}{13}$$＜\frac{1}{8}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$，$\frac{1}{{a}_{7}}$=$\frac{1}{21}$＜$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{{2}^{4}}$，$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{1}{34}$$＜\frac{1}{32}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，…，
∴当n≥6时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-2}+{a}_{n-1}}$＜$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，
∴S_n＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$=$\frac{61}{30}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-5}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{61}{30}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{289}{120}$＜3．即可证明S_n＜3（n∈N^*）．
综上可得：存在正整数M，使得对任意的n＞M都有2＜S_n＜3（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系、数学归纳法、“放缩法”、不等式的性质，考查了猜想能力、推理能力与计算能力，属于中档题．