题目内容
12.在同一平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后,变为曲线C′.(1)求曲线C′的方程;
(2)在曲线C′上求一点P,使点P到直线x+2y-8=0的距离最小,求出最小值并写出此时点P的直角坐标.
分析 (1)利用伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后,变为曲线C′,可得曲线C′的方程;
(2)利用椭圆C′的参数方程,设点P的坐标为(3cosϕ,2sinϕ),由点到直线的距离公式,得到点P到直线的距离,由三角函数知识,即可得出结论.
解答 解:(1)曲线C′的方程为:${(\frac{x'}{3})^2}+{(\frac{y'}{2})^2}=1$,化简得:$\frac{{{{x'}^2}}}{9}+\frac{{{{y'}^2}}}{4}=1$.(4分)
(2)因为椭圆C′的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3cosϕ}\\{y'=2sinϕ}\end{array}}\right.$,ϕ为参数,
所以可设点P的坐标为(3cosϕ,2sinϕ),(6分)
由点到直线的距离公式,得到点P到直线的距离为$d=\frac{{|{3cosϕ+4sinϕ-8}|}}{{\sqrt{5}}}$(7分)
=$\frac{{|{5(\frac{3}{5}cosϕ+\frac{4}{5}sinϕ)-8}|}}{{\sqrt{5}}}$=$\frac{{|{5cos(θ-ϕ)-8}|}}{{\sqrt{5}}}$.(10分)
由三角函数知识知,当θ-ϕ=0时,d取最小值$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$.(12分)
此时ϕ=θ,$cosϕ=cosθ=\frac{3}{5}$,$sinϕ=sinθ=\frac{4}{5}$.(13分)
点P的坐标为($3×\frac{3}{5}$,$2×\frac{4}{5}$),即($\frac{9}{5}$,$\frac{8}{5}$).(14分)
点评 本题考查曲线与方程,考查椭圆的参数方程,考查三角函数知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
A. | (-∞,2) | B. | (-∞,$\sqrt{2}$] | C. | (0,$\sqrt{2}$] | D. | (0,2) |
A. | {2,3} | B. | {2,3,4} | C. | {0,1,2,3,4,5} | D. | {0,1} |