Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+b\\{x^2}+（{a^2}-4a）x+1\end{array}\right.\begin{array}{l}x≥0\\ x＜0\end{array}$，其中a，b∈R．若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，则a+b的取值范围为[1，5]．

Answer 1

分析 利用分段函数，通过题意推出函数的单调性以及函数值的关系列出方程，求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+b\\{x^2}+（{a^2}-4a）x+1\end{array}\right.\begin{array}{l}x≥0\\ x＜0\end{array}$，x≥0时，函数是增函数；
因为对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
可知x＜0时，函数是减函数，并且x=0时，两部分的函数值相等．
可得：1=b，$-\frac{{a}^{2}-4a}{2}≥0$，解得a∈[0，4]．
a+b的取值范围为：[1，5]．
故答案为：[1，5]．

点评 本题考查分段函数的应用，函数与方程的思想的应用，判断函数的单调性是解题的关键．