Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB，则cosB=$\frac{7}{8}$，sin（2A-B）=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理结合已知条件求出三角形的边长，然后求解cosB，利用两角和与差的三角函数求解sin（2A-B）．

解答 解：在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a-b=2，c=4，
由sinA=2sinB，可得a=2b，解得b=2，a=4，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$．
sinB=$\sqrt{1-（{\frac{7}{8}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
sinA=$\frac{\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，cosA=$\frac{1}{4}$，
sin2A=2×$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=$\frac{\sqrt{15}}{8}$×$\frac{7}{8}$-（2×$\frac{1}{16}-1$）$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．
故答案为：$\frac{7}{8}$；$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．