题目内容
10．已知函数f（x）=$\frac{1-mx}{1+x}$．（1）当m=2时，用定义证明：f（x）在x∈（0，+∞）上的单调递减；
（2）若不恒为0的函数g（x）=1gf（x）是奇函数，求实数m的值．
分析 （2）根据函数单调性的定义证明步骤即可．
（2）由不恒为0的函数g（x）=1gf（x）是奇函数，可得g（-x）+g（x）=0，即可求实数m的值．
解答 （1）证明：当m=2时，f（x）=$\frac{1-2x}{1+x}$=-2+$\frac{1}{1+x}$，
任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
所以有f（x1）-f（x2）=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$
因为0＜x1＜x2，
所以x2-x1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在x∈（0，+∞）上的单调递减；
（2）解：∵不恒为0的函数g（x）=1gf（x）是奇函数，
∴g（-x）+g（x）=0，f（x）≠1
∴1gf（-x）+1gf（x）=0，
∴1g[f（-x）f（x）]=0，
∴f（-x）f（x）=1，
∴$\frac{1+mx}{1-x}$•$\frac{1-mx}{1+x}$=1，
∴m=±1．
∵f（x）≠1
∴m=1．
点评 本题考查函数的奇偶性，函数单调性的判断与证明，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
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