Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3ax+2（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=x3﹣3x+2，切点为（0，2），

∴f′（x）=3x2﹣3，

∴切线的斜率为k=f′（0）=﹣3，

则切线方程为y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0

（2）解：f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a）．

当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上为增函数，

∴f（x）min=f（0）=2；

当a＞0时，f′（x）= ．

①若0＜ ，即0＜a＜1时，

当0 时，f′（x）＜0，当 时，f′（x）＞0．

∴f（x）在[0， ）上为减函数，在（ ]上为增函数．

∴ ；

②若 ，即a≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上为减函数．

∴f（x）min=f（1）=3﹣3a．

综上：

【解析】（1）把a=1代入函数解析式，求出切点坐标，并求出f′（0），然后由直线方程的点斜式得答案；（2）求出原函数的导函数，对a分类分析，当a≤0时，f′（x）≥0，得f（x）在[0，1]上为增函数，求得函数最小值；当a＞0时，f′（x）= ．然后由1分界讨论求得函数的最小值．
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．