题目内容
【题目】双曲线:
的左右顶点分别为
,
,动直线
垂直
的实轴,且交
于不同的两点
,直线
与直线
的交点为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过点作
的两条互相垂直的弦
,
,证明:过两弦
,
中点的直线恒过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1) 设
则
且
,再求出直线
的方程为
,直线
的方程为
, 再消去
即得点
的轨迹
的方程;
(2)先求出D的中点
,
的中点
, 再证明过两弦
,
中点的直线恒过定点.
(1)因为,
设
则
且
①,
因为动直线交双曲线于不同的两点
,所以
且
,
因为直线的方程为
②,
直线的方程为
③,
②③得
,
把①代入上式得,化简得
,
所以点的轨迹
的方程为
.
(2)依题意得直线与直线
斜率均存在且不为0,
设直线的方程为
,则直线
的方程为
,
联立得
,
则,设
,
,
,
所以的中点
,
同理的中点
,
所以直线的斜率为
,
所以直线的方程为
,
整理得,
所以直线恒过定点
,即过两弦
中点的直线恒过定点
.
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