Question

设和是函数的两个极值点,其中.
（1）求的取值范围;
（2）若为自然对数的底数),求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）先求，由已知条件得，方程=0有两个不等的正根，则有，解得，结合韦达定理将变形为关于变量的函数表达式，，进而求值域得的取值范围；（2）将变形为，为了减少参数，将代入得，
，为了便于求值域，利用，继续变形为
，设，通过还原，将表示为变量的函数，进而求值域即可．
（1）函数的定义域为,.
依题意,方程有两个不等的正根,
故有,解得,且,
所以,
，
又,所以的取值范围是.          6分
（2）由,

令,所以,
又因为,
所以,可化为
,因为,所以得,求在上最大值,
由,所以在上递减,
所以,故的最大值为.              13分