题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若曲线与曲线
在公共点处有共同的切线,求实数
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问函数是否有零点?如果有,求出该零点;若没有,请说明理由.
【答案】(I);(II)无零点.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设曲线与曲线
公共点为
则由
,
,即可求
的值;
(Ⅱ)函数是否有零点,转化为函数
与函数
在区间
是否有交点,求导根据函数单调性可知
最小值为
,
最大值为
,从而无零点
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,
,
设曲线与曲线
公共点为
由于在公共点处有共同的切线,所以,解得
,
.
由可得
.
联立解得
.
(Ⅱ)函数是否有零点,
转化为函数与函数
在区间
是否有交点,
,可得
,
令,解得
,此时函数
单调递增;
令,解得
,此时函数
单调递减.
∴当时,函数
取得极小值即最小值,
.
可得
,
令,解得
,此时函数
单调递增;
令,解得
,此时函数
单调递减.
∴当时,函数
取得极大值即最大值,
.
因此两个函数无交点.即函数无零点.
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