题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若存在,使
成立,求整数
的最小值.
【答案】(1)当时,
,
单调递增,当
时,
单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减;当
时,
在
上单调递减; (2)
.
【解析】试题分析:(1)求导,分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量
,构造新函数,
,求导算出零点的范围,从而求出结果
解析:(1)由题意可知,,
,
方程对应的
,
当,即
时,当
时,
,
∴在
上单调递减;
当时,方程
的两根为
,
且
,
此时,在
上
,函数
单调递增,
在上
,函数
单调递减;
当时,
,
,
此时当,
单调递增,
当时,
,
单调递减;
综上:当时,
,
单调递增,当
时,
单调递减;
当时,
在
上单调递增,
在上单调递减;
当时,
在
上单调递减;
(2)原式等价于,
即存在,使
成立.
设,
,
则,
设,
则,∴
在
上单调递增.
又,根据零点存在性定理,可知
在
上有唯一零点,设该零点为
, 则
,且
,即
,
∴
由题意可知,又
,
,∴
的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的列联表,据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
优秀 | 合格 | 合计 | |
大学组 | |||
中学组 | |||
合计 |
注:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 7.879 |
(2)若参赛选手共6万人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数.
(3)在优秀等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6.在良好等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在选出的6名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为,求使得方程组
有唯一一组实数解
的概率.
【题目】已知某班的50名学生进行不记名问卷调查,内容为本周使用手机的时间长,如表:
时间长(小时) | |||||
女生人数 | 4 | 11 | 3 | 2 | 0 |
男生人数 | 3 | 17 | 6 | 3 | 1 |
(1)求这50名学生本周使用手机的平均时间长;
(2)时间长为的7名同学中,从中抽取两名,求其中恰有一个女生的概率;
(3)若时间长为被认定“不依赖手机”,
被认定“依赖手机”,根据以上数据完成
列联表:
不依赖手机 | 依赖手机 | 总计 | |
女生 | |||
男生 | |||
总计 |
能否在犯错概率不超过0.15的前提下,认为学生的性别与依赖手机有关系?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,
)