题目内容
【题目】已知椭圆Γ: +y2=1(a>1)的左焦点为F1 , 右顶点为A1 , 上顶点为B1 , 过F1 , A1 , B1三点的圆P的圆心坐标为( , ).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k,m为常数,k≠0)与椭圆Γ交于不同的两点M和N.
(i)当直线l过E(1,0),且 +2 = 时,求直线l的方程;
(ii)当坐标原点O到直线l的距离为 时,求△MON面积的最大值.
【答案】解:(1)椭圆Γ: +y2=1(a>1)的左焦点为F1(﹣c,0)右顶点为A1(a,0)上顶点为B1(0,1),
由题意可知,圆心P在A1F1的中垂线上,即 = ,则a﹣c= ﹣ ,
由a2﹣c2=1,及(a+c)(a﹣c)=1,∴a+c= + ,
∴a= ,c= ,
∴椭圆的标准方程为: ;
(Ⅱ)(i)设直线l的方程为y=k(x﹣1),M(x1 , y1),N(x2 , y2),.
代入椭圆方程,整理得:(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,
由韦达定理可知:x1+x2= ,①x1x2= ,②
由 =(x1﹣1,y1), =(x2﹣1,y2) ,
+2 = 时,则(x1﹣1,y1)+2(x2﹣1,y2)= ,则x1+2x2=3,③,
由①③,解得:x1= ,x2=
由②可知: = × ,
当3k2﹣3=0时,即k=±1,显然成立,
当3k2﹣3≠0,1+3k2≠0,则 =1,显然不成立,
综上可知:k=±1,
∴直线l的方程y=x﹣1或y=﹣x+1;
(ii)设M(x1 , y1),N(x2 , y2).
由题意,设直线AB的方程为y=kx+m,
由坐标原点O到直线l的距离为 可得 ,化为m2= (k2+1).
把y=kx+m代入椭圆方程,消去y得到(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= .
∴丨MN丨2=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]
=(1+k2)[(﹣ )2﹣4( )]= = ,
=3+ ,(k≠0),
=3+ ≤3+ =4,
当且仅当9k2= 时,即k=± 时,等号成立,此时丨MN丨=2,
由△MON面积S= ×丨MN丨× ,
= ×2× ,
= ,
∴△MON面积的最大值
【解析】(Ⅰ)由题可知:圆心P在A1F1的中垂线上,则a﹣c= ﹣ ,由椭圆的性质可知:a2﹣c2=1,即可求得a的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)(i)设直线l的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得x1及x2 , 由x1x2= ,代入即可求得k的值,求得直线l的方程;(ii)将直线l的方程代入椭圆方程,由点到直线的距离公式求得m2= (k2+1),利用韦达定理,弦长公式,三角形的面积公式及基本不等式的性质,求得△MON面积的最大值.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:即可以解答此题.