Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（Ⅰ）设bn= ，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设Cn= ，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn ， 是否存在正整数m，使得Tn＜ 对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵bn+1﹣bn= = = =2，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，
又 =2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．
∴2n= ，解得 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，
∴cncn+2= = ，
∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn= … +
=2 ＜3．
要使得Tn＜ 对于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，
解得m≥3或m≤﹣4，
而m＞0，故最小值为3
【解析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn ， 进而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn ， 要使得Tn＜ 对于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，解出即可．