题目内容
【题目】已知函数f(x)= x2 , g(x)=alnx.
(1)若曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0,求实数a的值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不等的正数x1 , x2 , 都有 >2恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若在[1,e]上存在一点x0 , 使得f′(x0)+ <g(x0)﹣g′(x0)成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:y=f(x)﹣g(x)= x2﹣alnx的导数为x﹣ ,
曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线斜率为k=1﹣a,
由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0,可得1﹣a=3,
解得a=﹣2;
(2)解:h(x)=f(x)+g(x)= x2+alnx,
对任意两个不等的正数x1,x2,都有 >2恒成立,即为
>0,
令m(x)=h(x)﹣2x,可得m(x)在(0,+∞)递增,
由m′(x)=h′(x)﹣2=x+ ﹣2≥0恒成立,
可得a≥x(2﹣x)的最大值,由x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1可得最大值1,
则a≥1,即a的取值范围是[1,+∞)
(3)解:不等式f′(x0)+ <g(x0)﹣g′(x0)等价于x0+ <alnx0﹣ ,
整理得x0﹣alnx0+ <0,设m(x)=x﹣alnx+ ,
则由题意可知只需在[1,e]上存在一点x0,使得m(x0)<0.
对m(x)求导数,得m′(x)=1﹣ ﹣ = = ,
因为x>0,所以x+1>0,令x﹣1﹣a=0,得x=1+a.
①若1+a≤1,即a≤0时,令m(1)=2+a<0,解得a<﹣2.
②若1<1+a≤e,即0<a≤e﹣1时,m(x)在1+a处取得最小值,
令m(1+a)=1+a﹣aln(1+a)+1<0,即1+a+1<aln(1+a),
可得 <ln(a+1)
考察式子 <lnt,因为1<t≤e,可得左端大于1,而右端小于1,所以不等式不能成立
③当1+a>e,即a>e﹣1时,m(x)在[1,e]上单调递减,只需m(e)<0,得a> ,
又因为e﹣1﹣ = <0,则a> .
综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪( ,+∞).
【解析】(1)求出函数y的导数,可得切线的斜率,由切线方程可得a的方程,解得a即可;(2)由题意可得即为 >0,令m(x)=h(x)﹣2x,可得m(x)在(0,+∞)递增,求出导数,令导数大于等于0,分离参数a,由二次函数的最值,即可得到a的范围;(3)原不等式等价于x0+ <alnx0﹣ ,整理得x0﹣alnx0+ <0,设m(x)=x﹣alnx+ ,求得它的导数m'(x),然后分a≤0、0<a≤e﹣1和a>e﹣1三种情况加以讨论,分别解关于a的不等式得到a的取值,最后综上所述可得实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪( ,+∞).