Question

19．已知数列{a_n}的各项均不为0，其前n和为S_n，且满足a₁=a，2S_n=a_na_n+1．
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a=-9，求S_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=a_na_n+1，可得2a₁=a₁a₂，又a₁=a≠0，即可得出a₂．
（Ⅱ）由2S_n=a_na_n+1，可得a_n+1-a_n-1=2，于是数列{a_2k-1}，{a_2k}都是公差为2的等差数列，即可得出．
（Ⅲ）当a=-9时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-10，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$，利用2S_n=a_na_n+1，可得S_n，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=a_na_n+1，∴2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，
∵a₁=a≠0，∴a₂=2．
（Ⅱ）∵2S_n=a_na_n+1，∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1a_n，
两式相减得到：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴数列{a_2k-1}，{a_2k}都是公差为2的等差数列，
当n=2k-1时，a_n=a₁+2（k-1）=a+2k-2=a+n-1，
当n=2k时，a_n=2+2（k-1）=2k=n，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）当a=-9时，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-10，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$，
∵2S_n=a_na_n+1，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）（n+1），n为奇数}\\{\frac{1}{2}n（n-9），n为偶数}\end{array}\right.$，
∴当n为奇数时，S_n的最小值为S₅=-15；
当n为偶数时，S_n的最小值为S₄=-10，
所以当n=5时，S_n取得最小值为-15．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．