Question

17．在等比数列{a_n}中，a₁a₄=32，a₆=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S₁+2S₂+…+nS_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等比数列{a_n}的公比为q，联立a₁a₄=32、a₆=64，计算即得结论；
（2）通过（1）知${S_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=2（{2^n}-1）$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
依题意$\left\{\begin{array}{l}{a_1}•{a_1}{q^3}=32\\{a_1}{q^5}=64\end{array}\right.$，
解得：a₁=2，q=2，
∴${a_n}={2^n}$；
（2）由（1）知${S_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=2（{2^n}-1）$，
∴${S_1}+2{S_2}+…+n{S_n}=2[{（{2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}}）-（{1+2+3+…+n}）}]$，
设${T_n}=2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$，
则$2{T_n}={2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+n•{2^{n+1}}$，
两式相减得：$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}=-（n-1）•{2^{n+1}}-2$，
∴${T_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$，
∴${S_n}=（n-1）•{2^{n+2}}+4-n（n+1）$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．