题目内容

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,
(1)求证:E、B、F、D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=
2
3
,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1
证明:(1)如图,在DD1上取点N,使DN=1,连接EN,CN,
则AE=DN=1,CF=ND1=2,
因为AEDN,ND1CF,所以四边形ADNE是平行四边形,
从而EN
.
.
AD,FD1CN,又因为AD
.
.
BC,所以EN
.
.
BC,
故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CNBE,从而FD1BE,
所以E、B、F、D1四点共面;
(2)如图,GM⊥BF,又MB⊥BC,所以∠BGM=∠CFB,
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•
BC
CF
=
2
3
3
2
=1

因为AE
.
.
BM,所以ABME为平行四边形,从而ABEM,又AB⊥平面BCC1B1
所以EM⊥平面BCC1B1
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