题目内容
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,
(1)求证:E、B、F、D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=
,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.
(1)求证:E、B、F、D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=
2 |
3 |
证明:(1)如图,在DD1上取点N,使DN=1,连接EN,CN,
则AE=DN=1,CF=ND1=2,
因为AE∥DN,ND1∥CF,所以四边形ADNE是平行四边形,
从而EN
AD,FD1∥CN,又因为AD
BC,所以EN
BC,
故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CN∥BE,从而FD1∥BE,
所以E、B、F、D1四点共面;
(2)如图,GM⊥BF,又MB⊥BC,所以∠BGM=∠CFB,
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•
=
•
=1,
因为AE
BM,所以ABME为平行四边形,从而AB∥EM,又AB⊥平面BCC1B1,
所以EM⊥平面BCC1B1.
则AE=DN=1,CF=ND1=2,
因为AE∥DN,ND1∥CF,所以四边形ADNE是平行四边形,
从而EN
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. |
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. |
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故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CN∥BE,从而FD1∥BE,
所以E、B、F、D1四点共面;
(2)如图,GM⊥BF,又MB⊥BC,所以∠BGM=∠CFB,
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•
BC |
CF |
2 |
3 |
3 |
2 |
因为AE
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所以EM⊥平面BCC1B1.
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