Question

如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.

(1)求证:BF∥平面A′DE;
(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.

Answer 1

（1）见解析  （2）

(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,

由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,
所以FG∥BE,FG=BE,
故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.
因为EG?平面A′DE,BF?平面A′DE,
所以BF∥平面A′DE.
(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,
则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.
连接CE,因为∠ABC=120°,
在△BCE中,可得CE=a.
在△ADE中,可得DE=a.
在△CDE中,因为CD²=CE²+DE²,所以CE⊥DE.
在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,
所以A′M⊥CE.
取A′E的中点N,连接NM,NF,
则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.
因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,
则cos∠FMN=,
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.