题目内容
1．已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且函数y=f（2x+$\frac{π}{4}$）得图象关于直线x=$\frac{7π}{24}$对称（1）求φ的值；
（2）若$\frac{π}{3}$＜α$＜\frac{5π}{12}$，且f（α）=$\frac{4}{5}$，求cos4α得值；
（3）若0＜θ＜$\frac{π}{8}$时，不等式f（θ）+f（θ+$\frac{π}{4}$）＜|m-4|恒成立，试求实数m得取值范围．
分析 （1）首先对函数的关系式进行恒等变换，进一步利用函数的对称轴求出函数的φ的值．
（2）利用（1）的结论，进一步求出函数的解析式，再利用已知的条件求出函数的值．
（3）利用恒成立问题，进一步求出参数的取值范围．
解答 解：（1）函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ
=sin（2x+φ），
则y=f（2x+$\frac{π}{4}$）=sin（4x+$\frac{π}{2}$+φ）=cos（4x+φ），
由于函数y=f（2x+$\frac{π}{4}$）=cos（4x+φ）图象关于直线x=$\frac{7π}{24}$对称，
所以：$\frac{7π}{6}$+φ=kπ，
解得：φ=kπ-$\frac{7π}{6}$，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以：当k=1时，φ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）得：函数的解析式为：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由于：$\frac{π}{3}＜α＜\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}＜2α-\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
且f（α）=$\frac{4}{5}$，
所以：sin（2$α-\frac{π}{6}）$=$\frac{4}{5}$，cos（2$α-\frac{π}{6}）$=-$\frac{3}{5}$，
则：cos2α=cos（$2α-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}$）=$cos（2α-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}$-$sin（2α-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$=$\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}$．
所以：cos4α=2cos22α-1=$\frac{24\sqrt{3}-7}{50}$；
（3）f（θ）+f（θ+$\frac{π}{4}$）
=$sin（2θ-\frac{π}{6}）$+sin（2$θ+\frac{π}{3}）$
=$\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{12}）$，
当0＜θ＜$\frac{π}{8}$时，
$\frac{π}{12}＜2θ+\frac{π}{12}＜\frac{π}{3}$，
所以：$[\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{12}）]_{max}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
不等式f（θ）+f（θ+$\frac{π}{4}$）＜|m-4|恒成立，
只需满足|m-4|$＞\frac{\sqrt{6}}{2}$即可．
所以：$m＞4+\frac{\sqrt{6}}{2}或m＜4-\frac{\sqrt{6}}{2}$．
点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的对称轴求函数的解析式，函数的恒成立问题的应用，利用三角函数的定义域求三角函数的值．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | 8 | B． | ±8 | C． | $\frac{1}{8}$ | D． | ±$\frac{1}{8}$ |
| A． | $\frac{2}{{a}^{2}}$ | B． | 2a2 | C． | $\frac{1}{2}$a2 | D． | $\frac{1}{2{a}^{2}}$ |
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．