题目内容

13．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式：
①a1=1，an+1=an+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$（n∈N*）
②a1=-1，an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$（n∈N*）

分析 由递推公式可得数列的前4项，分别可猜得其通项公式．

解答 解：①∵a1=1，an+1=an+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，
∴a2=a1+$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，∴a3=a2+$\frac{{a}_{2}}{2+1}$=2，
同理可得a4=$\frac{5}{2}$，猜想an=$\frac{n+1}{2}$；
②∵a1=-1，an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a2=a1+$\frac{1}{1×2}$=$-\frac{1}{2}$，∴a3=a2+$\frac{1}{2×3}$=-$\frac{1}{3}$，
同理可得a4=-$\frac{1}{4}$，猜想an=-$\frac{1}{n}$

点评 本题考查数列的递推公式，属基础题．

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