Question

6．过抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m²+n²的最小值为（　　）

• A． $\frac{2}{{a}^{2}}$
• B． 2a²
• C． $\frac{1}{2}$a²
• D． $\frac{1}{2{a}^{2}}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线PQ的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，求得m，n的式子，以及m+n，mn的关系式，运用配方，即可得到最小值．

解答 解：抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点F（0，$\frac{1}{4a}$），准线方程为y=-$\frac{1}{4a}$，
设PQ直线方程是y=kx+$\frac{1}{4a}$，
则x₁，x₂是方程ax²-kx-$\frac{1}{4a}$的两根，
可设x₁＞0，x₂＜0，P（x₁，ax₁²），Q（x₂，ax₂²），
x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁x₂=-$\frac{1}{4{a}^{2}}$，
由抛物线的定义可得m=ax₁²+$\frac{1}{4a}$，n=ax₂²+$\frac{1}{4a}$，
m+n=a（x₁+x₂）²-2ax₁x₂+$\frac{1}{2a}$=$\frac{{k}^{2}}{a}$+$\frac{1}{a}$，
mn=a²x₁²x₂²+$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）
=$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1+2{k}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{4{a}^{2}}$，
则m²+n²=（m+n）²-2mn=$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{1+{k}^{2}}{2{a}^{2}}$
=$\frac{1}{2{a}^{2}}$[2（k²+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$]≥$\frac{1}{2{a}^{2}}$，
当且仅当k=0，取得最小值，且为$\frac{1}{2{a}^{2}}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．