题目内容

【题目】如图1,在矩形中,的中点中点.将沿折起到,使得平面平面(如图2).

(1)求证:

(2)求直线与平面所成角的正弦值;

(3)在线段上是否存在点,使得平面? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析

【解析】

(1)先证明平面.再证明.(2) 以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系(如图),利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.(3) 假设在线段上存在点,使得平面.,且,根据平面求得,所以当时,平面

(1)由已知

因为中点,所以

因为平面平面,且平面平面

平面,所以平面

又因为平面,所以

(2)设为线段上靠近点的四等分点,中点.

由已知易得

由(1)可知,平面

所以.

为原点,所在直线分别为

建立空间直角坐标系(如图).

因为

所以

设平面的一个法向量为

因为

所以

,得

.

所以直线与平面所成角的正弦值

(3)在线段上存在点,使得平面.

,且,则

因为,所以

所以

所以

平面,则.即.

(2)可知平面的一个法向量

,解得

所以当时,平面

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练习册系列答案
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