题目内容
【题目】如图1,在矩形中,
,
,
为
的中点,
为
中点.将
沿
折起到
,使得平面
平面
(如图2).
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得
平面
? 若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)先证明平面
.再证明
.(2) 以
为原点,
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系(如图),利用向量法求直线
与平面
所成角的正弦值
.(3) 假设在线段
上存在点
,使得
平面
.设
,且
,根据
平面
求得
,所以当
时,
平面
.
(1)由已知,
因为为
中点,所以
.
因为平面平面
,且平面
平面
,
平面
,所以
平面
.
又因为平面
,所以
.
(2)设为线段
上靠近
点的四等分点,
为
中点.
由已知易得.
由(1)可知,平面
,
所以,
.
以为原点,
所在直线分别为
轴
建立空间直角坐标系(如图).
因为,
,
所以.
设平面的一个法向量为
,
因为,
所以 即
取,得
.
而
.
所以直线与平面
所成角的正弦值
(3)在线段上存在点
,使得
平面
.
设,且
,则
,
.
因为,所以
,
所以,
所以,
.
若平面
,则
.即
.
由(2)可知,平面的一个法向量
,
即,解得
,
所以当时,
平面
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目