题目内容
【题目】如图,在各棱长均为2的正三棱柱中,
分别为棱
与
的中点,
为线段
上的动点,其中,
更靠近
,且
.
(1)证明: 平面
;
(2)若与平面
所成角的正弦值为
,求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【解析】试题分析:(1)根据正三角形性质得,结合线面垂直得
.因此可得
平面
,即
.再根据
,得
平面
,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解平面
法向量,根据向量数量积求夹角,再根据线面角与向量夹角互余关系列方程,解得N坐标,最后根据向量数量积求异面直线
与
所成角的余弦值.
试题解析:解:(1)证明:由已知得为正三角形,
为棱
的中点,
∴,
在正三棱柱中,
底面
,则
.
又,∴
平面
,∴
.
易证,又
,∴
平面
.
(2)解:取的中点
,
的中点
,则
,
,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
设
,
则
,
易知是平面
的一个法向量,
∴
,解得
.
∴,
,
,,
∴
,
∴异面直线与
所成角的余弦值为
.
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