题目内容
【题目】如图,在多面体中,
平面
,直线
与平面
所成的角为30°,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小.
【答案】(1)见解析(2)60°
【解析】分析:
(Ⅰ)由BD⊥平面ABC得BD⊥AC,上AC⊥AB,得AC⊥平面ABDE,从而知∠CDA是直线CD与平面ABDE所成的角为30°,这样可求得AC与BC的关系从而确定是等腰直角三角形,于是取BC中点为O,有AO⊥BC,因此可证AO⊥平面CBD,又可证AOME是平行四边形,即得AO//EM,于是有EM⊥平面BCD,最终可证得面面垂直;
(Ⅱ) 以为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,不妨设
,写出各点坐标,然后求出平面BCE和平面BEM的法向量,利用向量法可求得二面角.
详解:
(Ⅰ)连接,取
的中点为
,连接
.
因为平面
平面
,所以
,
又,所以
平面
,
则为直线
与平面
所成的角,即
.
所以,
所以是等腰直角三角形,则
,
又平面
,所以
,所以
平面
.
又分别是
的中点,所以
又
,所以
,
故四边形是平行四边形,所以
,
所以平面
,又
平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,不妨设
,
则,
所以.
设平面 的法向量为
,则
,即
,解得
,
令,得
;
设平面的法向量为
,则
,即
,解得
,
令,得
;
所以,
所以二面角的大小为60°.
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