题目内容
【题目】(1)求圆心在直线上,且与直线
相切于点
的圆的方程;
(2)求与圆外切于点
且半径为
的圆的方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为,据此可得圆心
,半径
,则所求圆的方程为
.
(2)圆的标准方程为,得该圆圆心为
,半径为
,两圆连心线斜率
.设所求圆心为
,结合弦长公式可得
,
.则圆的方程为
.
试题解析:
(1)过点且与直线
垂直的直线为
,
由
.
即圆心,半径
,
所求圆的方程为.
(2)圆方程化为,得该圆圆心为
,半径为
,故两圆连心线斜率
.设所求圆心为
,
,∴
,
,∴
.
∴.
点睛:求圆的方程,主要有两种方法:
(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】如图所示,平面
,点
在以
为直径的
上,
,
,点
为线段
的中点,点
在弧
上,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)设二面角的大小为
,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】试题分析:
(1)由△ABC中位线的性质可得,则
平面
.由线面平行的判断定理可得
平面
.结合面面平行的判断定理可得
平面
.
(2)由圆的性质可得,由线面垂直的性质可得
,据此可知
平面
.利用面面垂直的判断定理可得平面
平面
.
(3)以为坐标原点,
所在的直线为
轴,
所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系
.结合空间几何关系计算可得平面
的法向量
,平面
的一个法向量
,则
.由图可知
为锐角,故
.
试题解析:
(1)证明:因为点为线段
的中点,点
为线段
的中点,
所以,因为
平面
,
平面
,所以
平面
.
因为,且
平面
,
平面
,所以
平面
.
因为平面
,
平面
,
,
所以平面平面
.
(2)证明:因为点在以
为直径的
上,所以
,即
.
因为平面
,
平面
,所以
.
因为平面
,
平面
,
,所以
平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(3)解:如图,以为坐标原点,
所在的直线为
轴,
所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系
.
因为,
,所以
,
.
延长交
于点
.因为
,
所以,
,
.
所以,
,
,
.
所以,
.
设平面的法向量
.
因为,所以
,即
.
令,则
,
.
所以.
同理可求平面的一个法向量
.
所以.由图可知
为锐角,所以
.
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