Question

【题目】如图所示，在中，斜边，将沿直线旋转得到，设二面角的大小为.

（1）取的中点，过点的平面与分别交于点，当平面平面时，求的长（2）当时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据两个面平行的性质，可以得出交线平行，利用中位线的性质可得；（2）过点作交于点，可证明平面，建立以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角可求出二面角的余弦值.

试题解析：（1）因为平面平面,平面平面，

平面平面，所以.

因为为的中点，所以为的中点.

同理可证： 为的中点.所以.

在中，斜边,可知： ,即,

所以.

（2）过点作交于点,连接,则.

因为，所以平面平面.

因为平面平面， 平面，所以平面.

以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.

在中， ，所以.

所以.所以.

设平面的一个法向量为，

则可得令可得.

易知： 平面.

所以.所以二面角的余弦值为.