题目内容
【题目】设点
的坐标分别为
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积
.
（1）求点
的轨迹方程；
（2）在点
的轨迹上有一点
且点
在
轴的上方， 
，求
的范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：（1）设点
的坐标为
，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于
建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点
的坐标为
，利用斜率公式及夹角公式，可得
的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出
的范围.
试题解析：设点
的坐标为
因为点
坐标为
，所以直线
的斜率
同理，直线
的斜率
由已知有
化简，得点
的轨迹方程为
方法一：设点
的坐标为
，过点
作
垂直于
轴，垂足为
，
因为点
的坐标为
在点
的轨迹上，所以
得
， 
因为
， 
，
.
所以解得
.
方法二：设点
的坐标为
，点
的坐标分别为
直线
的斜率
，直线
的斜率
由
得
所以
（1）
又由于点
的坐标为为
在点
的轨迹上，所以
得
，代入（1）得
.
因为
， 
，
.
所以解得
.
方法三设点
的坐标为
，点
的坐标分别为
直线
的斜率
，直线
的斜率
由
得
所以
（1）
又由于点
的坐标为为
在点
的轨迹上，所以
代入（1）得
， 
，
， 
，
.
所以解得
.
方法四：设点
的坐标为
，点
的坐标分别为
直线
的斜率
，直线
的斜率
由
得
所以
（1）
将
代入（1）得
， 
， 
.
因为
， 
，
.
所以解得
.
方法五设点
的坐标为
，点
的坐标分别为
直线
的斜率
，直线
的斜率
由
得
.
所以解得
.
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