题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且过点
,
,
是椭圆
上异于长轴端点的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线:
,且
,垂足为
,
,垂足为
,若
,且
的面积是
面积的5倍,求
面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)3.
【解析】试题分析:
(1)结合题意得到关于a,b,c的方程组,求解方程组可得椭圆的方程是
;
(2)将三角形的面积公式进行整理变形,然后联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得到面积函数,换元之后结合对勾函数的性质可得面积的最大值是3.
试题解析:
(1)依题意解得
故椭圆的方程为
.
(2)设直线与
轴相交于点
,
,
由于且
,
得,
(舍去)或
,
即直线经过点
,
设,
,
的直线方程为:
,
由即
,
,
,
,
令,所以
,
因为,所以
在
上单调递增,所以在
上单调递增,
所以,所以
(当且仅当
,即
时“
”成立),
故的最大值为3.
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