题目内容
【题目】已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2﹣(2an﹣1﹣1)an﹣2an﹣1=0(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足b1=1,b1+ b2+
b3+…+
bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{anbn}的前n项和为Tn .
【答案】解:(Ⅰ) 变形可得(an﹣2an﹣1)(an+1)=0, 即有an=2an﹣1或an=﹣1,
又由数列{an}各项都为正数,则有an=2an﹣1 ,
故数列{an}是首项为a1=1,公比为2的等比数列,则
由题意知,当n=1时,b1=b2﹣1,故b2=2,
当n≥2时, ,
和b1+ b2+
b3+…+
bn=bn+1﹣1(n∈N*)
作差得, ,整理得:
,∴
=1,∴bn=n
∴ ;bn=n,n∈N*
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
因此 ,
∴ ,
两式作差得:
【解析】(Ⅰ)推出数列{an}是等比数列,然后求解通项公式,利用作差法,然后求解{bn}的通项公式;(Ⅱ)化简通项公式,利用错位相减法求和即可.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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