题目内容
【题目】已知函数
对于任意的实数
都有
成立，且当
时<0恒成立.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若
=-2，求函数在
上的最大值；
（3）求关于
的不等式
的解集.
【答案】（1）奇函数.（2）4（3）
【解析】
（1）对函数进行赋值，求出 
，令y=-x即可根据定义判断出奇偶性；
（2）由定义法证明其单调性，再由单调性求出给定区间上的最值；
（3）利用奇函数的性质及已知的函数性质，将不等式化为
的形式，再利用单调性列出不等式，求出解集.
解：（1）∵
的定义域是R关于原点对称，
令
得
=0，再令
，得
∴是奇函数.
（2）设任意
，
由已知得
，①
又
，②
由①②知
，
∴是R上的减函数，
当
∴在
上的最大值为4
（3）由已知得：
，
由（1）知是奇函数，又
恒成立，
上式可化为：
由（2）知是R上的减函数，
∴
∴原不等式的解集为.
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