题目内容
【题目】已知函数对于任意的实数
都有
成立,且当
时
<0恒成立.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若=-2,求函数
在
上的最大值;
(3)求关于的不等式
的解集.
【答案】(1)奇函数.(2)4(3)
【解析】
(1)对函数进行赋值,求出 ,令y=-x即可根据定义判断出奇偶性;
(2)由定义法证明其单调性,再由单调性求出给定区间上的最值;
(3)利用奇函数的性质及已知的函数性质,将不等式化为的形式,再利用单调性列出不等式,求出解集.
解:(1)∵的定义域是R关于原点对称,
令得
=0,再令
,得
∴是奇函数.
(2)设任意,
由已知得,①
又,②
由①②知,
∴是R上的减函数,
当
∴在
上的最大值为4
(3)由已知得:,
由(1)知是奇函数,又
恒成立,
上式可化为:
由(2)知是R上的减函数,
∴
∴原不等式的解集为.
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