题目内容
【题目】如图,在四棱柱中,
平面
,
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求四棱锥的体积;
(Ⅱ)设点在线段
上,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长度;
(Ⅲ)判断线段上是否存在一点
,使得
?(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)易证得平面
,利用
求解即可;
(Ⅱ)分别以,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴,如图建立空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量为
,设
,由
求解即可;
(Ⅲ)易得对于线段上任意一点
,直线
与直线
都不平行.
试题解析:
(Ⅰ)因为平面
,
平面
,
所以.
又因为,
,
所以平面
.
因为,
所以四棱锥的体积
.
(Ⅱ)由平面
,
,可得
,
,
两两垂直,所以分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴,如图建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
.
所以,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
由,
,得
令,得
.
设,其中
,
则,
记直线与平面
所成角为
,
则,
解得(舍),或
.
所以,
故线段的长度为
.
(Ⅲ)对于线段上任意一点
,直线
与直线
都不平行.
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