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题目内容

16.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,且过点(0,1),其中A>0,ω>0,|φ|<\frac{π}{2}
(1)求函数的解析式.
(2)若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数h(x)是奇函数,求满足条件的最小正实数m.
(3)设函数g(x)=f(x)+a+1,x∈[0,\frac{π}{2}],若函数g(x)恰有两个零点,求a的范围.

分析 (1)由函数的图象可得T=(\frac{11π}{12}+\frac{π}{12})解得ω,图象经过(-\frac{π}{12},0),0=Asin(2×-\frac{π}{12}+φ),|φ|<\frac{π}{2},解得φ,图象经过(0,1),1=Asin(2×0+\frac{π}{6}),可得A,从而可求函数的解析式.
(2)由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得y=sin(2x+2m+\frac{π}{6})为奇函数,可得2m+\frac{π}{6}=kπ,k∈z,由此求得m的最小值.
(3)根据正弦函数的单调性,得到当t=sin(2x+\frac{π}{6})∈[\frac{1}{2},1)时,方程g(x)=0有两个零点,即2t+a+1=0,t∈[\frac{1}{2},1),由此建立关于a的不等式,解之即可得到实数a的取值范围.

解答 解:(1)由函数的图象可得T=(\frac{11π}{12}+\frac{π}{12})=π,T=\frac{2π}{ω},解得ω=2.
图象经过(-\frac{π}{12},0),0=Asin(2×-\frac{π}{12}+φ),|φ|<\frac{π}{2},解得φ=\frac{π}{6}
图象经过(0,1),1=Asin(2×0+\frac{π}{6}),可解得A=2,
故f(x)的解析式为y=2sin(2x+\frac{π}{6}).
(2)把函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数的解析式为:
y=sin[2(x+m)+\frac{π}{6}]=sin(2x+2m+\frac{π}{6}),
再根据y=sin(2x+2m+\frac{π}{6})为奇函数,
可得2m+\frac{π}{6}=kπ,k∈z,
故m的最小值为\frac{5π}{12}
(3)g(x)=f(x)+a+1=2sin(2x+\frac{π}{6})+a+1,
∵当x∈[0,\frac{π}{3}]时,且x≠\frac{π}{6}时,存在两个自变量x对应同一个sinx(2x+\frac{π}{6}),
即当t=sin(2x+\frac{π}{6})∈[\frac{1}{2},1)时,方程g(x)=0有两个零点,
∵g(x)=f(x)+a+1在x∈[0,\frac{π}{2}]上有两个零点,即2t+a+1=0,t∈[\frac{1}{2},1),
∴t=\frac{-a-1}{2}∈[\frac{1}{2},1),
解之得a∈(-3,-2].

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断,正弦函数的图象和性质,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,体现了数形结合、转化的数学思想,属于中档题.

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