题目内容
16.
(1)求函数的解析式.
(2)若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数h(x)是奇函数,求满足条件的最小正实数m.
(3)设函数g(x)=f(x)+a+1,x∈[0,$\frac{π}{2}$],若函数g(x)恰有两个零点,求a的范围.
分析 (1)由函数的图象可得T=($\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$)解得ω,图象经过(-$\frac{π}{12}$,0),0=Asin(2×-$\frac{π}{12}$+φ),|φ|<$\frac{π}{2}$,解得φ,图象经过(0,1),1=Asin(2×0+$\frac{π}{6}$),可得A,从而可求函数的解析式.
(2)由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得y=sin(2x+2m+$\frac{π}{6}$)为奇函数,可得2m+$\frac{π}{6}$=kπ,k∈z,由此求得m的最小值.
(3)根据正弦函数的单调性,得到当t=sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[$\frac{1}{2}$,1)时,方程g(x)=0有两个零点,即2t+a+1=0,t∈[$\frac{1}{2}$,1),由此建立关于a的不等式,解之即可得到实数a的取值范围.
解答 解:(1)由函数的图象可得T=($\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$)=π,T=$\frac{2π}{ω}$,解得ω=2.
图象经过(-$\frac{π}{12}$,0),0=Asin(2×-$\frac{π}{12}$+φ),|φ|<$\frac{π}{2}$,解得φ=$\frac{π}{6}$,
图象经过(0,1),1=Asin(2×0+$\frac{π}{6}$),可解得A=2,
故f(x)的解析式为y=2sin(2x+$\frac{π}{6}$).
(2)把函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数的解析式为:
y=sin[2(x+m)+$\frac{π}{6}$]=sin(2x+2m+$\frac{π}{6}$),
再根据y=sin(2x+2m+$\frac{π}{6}$)为奇函数,
可得2m+$\frac{π}{6}$=kπ,k∈z,
故m的最小值为$\frac{5π}{12}$.
(3)g(x)=f(x)+a+1=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+a+1,
∵当x∈[0,$\frac{π}{3}$]时,且x≠$\frac{π}{6}$时,存在两个自变量x对应同一个sinx(2x+$\frac{π}{6}$),
即当t=sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[$\frac{1}{2}$,1)时,方程g(x)=0有两个零点,
∵g(x)=f(x)+a+1在x∈[0,$\frac{π}{2}$]上有两个零点,即2t+a+1=0,t∈[$\frac{1}{2}$,1),
∴t=$\frac{-a-1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$,1),
解之得a∈(-3,-2].
点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断,正弦函数的图象和性质,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,体现了数形结合、转化的数学思想,属于中档题.
