题目内容
20.已知$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$,|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$,|$\overrightarrow{AC}$|=t,若点P是△ABC所在平面内一点,且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$,则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值等于13.分析 建立直角坐标系,由向量式的几何意义易得P的坐标,可化$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$ 为 17-($\frac{1}{t}$+4t),再利用基本不等式求得它的最大值.
解答 解:由题意建立如图所示的坐标系,
可得A(0,0),B($\frac{1}{t}$,0),C(0,t),
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$,∴P(1,4),
∴$\overrightarrow{PB}$=($\frac{1}{t}$-1,-4),$\overrightarrow{PC}$=(-1,t-4),
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-($\frac{1}{t}$-1)-4(t-4)=17-($\frac{1}{t}$+4t)≤17-2$\sqrt{\frac{1}{t}•4t}$=13,
当且仅当$\frac{1}{t}$=4t,即t=$\frac{1}{2}$时,取等号,
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值为13,
故答案为:13.
点评 本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.
练习册系列答案
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10.直线x+my+1=0与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域有公共点,则实数m的取值范围是( )
A. | [$\frac{1}{3}$,$\frac{4}{3}$] | B. | [-$\frac{4}{3}$,-$\frac{1}{3}$] | C. | [$\frac{3}{4}$,3] | D. | [-3,-$\frac{3}{4}$] |
15.设M={y|y=2x,x∈R},N={y|y=x2,x∈R},则( )
A. | M∩N={(2,4)} | B. | M∩N={(2,4),(4,16)} | C. | M=N | D. | M?N |
12.设A,B是双曲线x2-y2=1上关于原点O对称的两点,将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l折成直二面角,则折叠后线段AB长度的最小值为( )
A. | $\sqrt{2\sqrt{2}}$ | B. | $\sqrt{3\sqrt{2}}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 3 |
17.直线y=m分别与曲线y=2x+3,y=x+lnx交于A、B,则|AB|的最小值为( )
A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ | C. | 2 | D. | 3 |