题目内容
1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，长轴长为2$\sqrt{6}$．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小时，求点T的坐标．
分析 （1）由于$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，2a=2$\sqrt{6}$，又a2=b2+c2．解出即可．
（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．设直线PQ的方程为x=my+2，与椭圆方程联立化为（m2+3）y2+4my-2=0，△＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），设M为PQ的中点，利用根与系数的关系可得：M点的坐标．由于TF⊥PQ，可得直线FT的斜率为-m，其方程为y=-m（x-2）．可得点T的坐标，将M点的坐标代入解出即可．
（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线x=3上任意一点可得，点T点的坐标为（3，-m）．于是$|TF|=\sqrt{{m^2}+1}$，|PQ|=$\frac{{\sqrt{24}（{m^2}+1）}}{{{m^2}+3}}$．化简$\frac{|TF|}{|PQ|}$利用基本不等式的性质即可得出．
解答 
解：（1）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，2a=2$\sqrt{6}$，又a2=b2+c2．
解得a2=6，b2=2，c=2．
∴椭圆C的标准方程是$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．
设直线PQ的方程为x=my+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$
消去x，得（m2+3）y2+4my-2=0，
其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=$\frac{-4m}{m2+3}$，y1y2=$\frac{-2}{m2+3}$．
于是x1+x2=m（y1+y2）+4=$\frac{12}{m2+3}$．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为$（\frac{6}{{{m^2}+3}}，\frac{-2m}{{{m^2}+3}}）$．
∵TF⊥PQ，
∴直线FT的斜率为-m，其方程为y=-m（x-2）．
当x=t时，y=-m（t-2），
∴点T的坐标为（t，-m（t-2）），
此时直线OT的斜率为$\frac{{-m（{t-2}）}}{t}$，其方程为$y=\frac{m（2-t）}{t}x$．
将M点的坐标为$（\frac{6}{{{m^2}+3}}，\frac{-2m}{{{m^2}+3}}）$代入，得$\frac{-2m}{{{m^2}+3}}=\frac{m（2-t）}{t}•\frac{6}{{{m^2}+3}}$．
解得t=3．
（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线x=3上任意一点可得，点T点的坐标为（3，-m）．
于是$|TF|=\sqrt{{m^2}+1}$，|PQ|=$\frac{{\sqrt{24}（{m^2}+1）}}{{{m^2}+3}}$．
∴$\frac{|TF|}{|PQ|}=\sqrt{{m^2}+1}•\frac{{{m^2}+3}}{{\sqrt{24}（{m^2}+1）}}=\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{\frac{{{{（{m^2}+3）}^2}}}{{{m^2}+1}}}$=$\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{\frac{{{{（{m^2}+3）}^2}}}{{{m^2}+1}}}=\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{\frac{{{{（{m^2}+1）}^2}+4（{m^2}+1）+4}}{{{m^2}+1}}}$=$\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{{m^2}+1+\frac{4}{{{m^2}+1}}+4}$$≥\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{2\sqrt{4}+4}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
当且仅当m2+1=$\frac{4}{m2+1}$，即m=±1时，等号成立，此时$\frac{|TF|}{|PQ|}$取得最小值$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故当$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，-1）．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、基本不等式的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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如图，过点N（0，1）和M（m，-1）（m≠0）的动直线l与抛物线C：x2=2py交于P、Q两点（点P在M、N之间），O为坐标原点．