题目内容
11．已知2y•logy4-2y-1=0，$\sqrt{lo{g}_{x}\sqrt{5x}}$•log5x=-1，问是否存在一个正整数P，使P=$\sqrt{\frac{1}{x}-y}$．分析 由2y•logy4-2y-1=2y•logy4-$\frac{{2}^{y}}{2}$=0可求y，再由$\sqrt{lo{g}_{x}\sqrt{5x}}$•log5x=-1求出x即可．
解答 解：∵2y•logy4-2y-1=2y•logy4-$\frac{{2}^{y}}{2}$=0，
∴y=16；
∵$\sqrt{lo{g}_{x}\sqrt{5x}}$•log5x=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{lo{g}_{x}\sqrt{5x}•lo{{g}_{5}}^{2}x=1}\end{array}\right.$，
解得，x=$\frac{1}{25}$；
故P=$\sqrt{\frac{1}{x}-y}$=$\sqrt{25-16}$=3．
点评 本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．
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