Question

3．已知在△ABC中，a=2，∠A=$\frac{π}{3}$．
（1）求面积的最大值；
（2）求周长的最大值；
（3）若三角形为锐角三角形，求周长的取值范围；
（4）求b+2c的取值范围；
（5）$\frac{sinB}{cosC}$＞$\sqrt{3}$，求∠C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，利用基本不等式的性质可得bc≤4．即可得出S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$的最大值．
（2）由2²=b²+c²-2bc$cos\frac{π}{3}$=（b+c）²-2bc-bc，利用基本不等式的性质可得b+c≤4，即可得出a+b+c的最大值．
（3）由正弦定理可得a+b+c=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC）=2+4$sin（C+\frac{π}{6}）$，由$C+B=\frac{2π}{3}$，$0＜C，B＜\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{3}＜C+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，即可得出；
（4）由正弦定理可得b+2c=$\frac{4}{\sqrt{3}}（sinB+2sinC）$=$\sqrt{7}$sin（C+θ），其中sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，$cosθ=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．由$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，可得sin（C+θ）∈$（\frac{\sqrt{21}}{14}，1]$，即可得出．
（5）由$\frac{sinB}{cosC}$＞$\sqrt{3}$，B=$\frac{2π}{3}-C$，可得$0＜C＜\frac{π}{2}$，化为$sin（C-\frac{π}{3}）$＞0，进而得出．

解答 解：（1）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，∴2²=b²+c²-2bc$cos\frac{π}{3}$≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时取等号，即bc≤4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴S_△ABC的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵2²=b²+c²-2bc$cos\frac{π}{3}$=（b+c）²-2bc-bc≥（b+c）²$-3×（\frac{b+c}{2}）^{2}$，化为b+c≤4，当且仅当b=c=2时取等号．
∴a+b+c≤2+4=6，因此周长的最大值为：6．
（3）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴a+b+c=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC）=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$$[sin（\frac{2π}{3}-C）+sinC]$=2+4$sin（C+\frac{π}{6}）$，∵$C+B=\frac{2π}{3}$，$0＜C，B＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}＜C+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（C+\frac{π}{6}）$≤1，∴（a+b+c）∈$（2+2\sqrt{3}，6]$．

（4）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴b+2c=$\frac{4}{\sqrt{3}}（sinB+2sinC）$=$\frac{4}{\sqrt{3}}[sin（\frac{2π}{3}-C）+2sinC]$=$\sqrt{7}$$（\frac{\sqrt{21}}{14}cosC+\frac{5\sqrt{7}}{14}sinC）$=$\sqrt{7}$sin（C+θ），其中sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，$cosθ=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
∵$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，∴（C+θ）∈$（arctan\frac{\sqrt{3}}{5}，\frac{2π}{3}+arctan\frac{\sqrt{3}}{5}）$，∴sin（C+θ）∈$（\frac{\sqrt{21}}{14}，1]$，∴（b+2c）∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{7}]$．
（5）∵$\frac{sinB}{cosC}$＞$\sqrt{3}$，B=$\frac{2π}{3}-C$，
∴$0＜C＜\frac{π}{2}$，$sin（\frac{2π}{3}-C）＞\sqrt{3}$cosC，
化为$sin（C-\frac{π}{3}）$＞0，
∴$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$．即C∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的周长与面积的最值问题、基本不等式的性质、两角和差公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．