题目内容
【题目】已知函数,
,(其中
为自然对数的底数,
…).
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若函数在区间
上单调递增,求
的取值范围;
(3)若,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)极大值为-1,最小值为(2)
(3)
【解析】
(1)当时,利用函数导数,求得函数的单调区间,并求出极大值和极小值.(2)对
求导后,令导数大于或等于零,对
分成
三类,讨论函数的单调区间,由此求得
取值范围.(3)构造函数
,利用导数求得函数
的最小值,令这个最小值大于或等于零,解不等式来求得
的取值范围.
解:(1)当时,
,
,
当或
时,
,函数
在区间
,
上单调递增;当
时,
,函数
在区间
上单调递减.
所以当时,取得极大值
;当
时,取得极小值
.
(2),令
,依题意,函数
在区间
上单调递增,即
在区间
上恒成立. 当
时,显然成立;当
时,
在
上单调递增,只须
,即
,所以
.当
时,
在
上单调递减,只须
,即
,所以
.
综上, 的取值范围为
.
(3),即
,令
=
, 因为
,所以只须
,令
,
,
,因为
,所以
,所以
,即
单调递增,
又,即
单调递增,所以
,所以
,又
,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某种植物感染病毒极易导致死亡,某生物研究所为此推出了一种抗
病毒的制剂,现对20株感染了
病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计;并对植株吸收制剂的量(单位:mg)进行统计.规定:植株吸收在6mg(包括6mg)以上为“足量”,否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计,其中 “植株存活”的13株,对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.
编号 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
吸收量(mg) | 6 | 8 | 3 | 8 | 9 | 5 | 6 | 6 | 2 | 7 | 7 | 5 | 10 | 6 | 7 | 8 | 8 | 4 | 6 | 9 |
(1)完成以下列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下,认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关?
吸收足量 | 吸收不足量 | 合计 | |
植株存活 | 1 | ||
植株死亡 | |||
合计 | 20 |
(2)①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株,记为“植株死亡”的数量,求
得分布列和期望
;
②将频率视为概率,现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验,设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量
,求
.
参考数据:,其中