题目内容
【题目】设数列
的前
项和为
，对一切
，点
都在函数
的图象上.
（1）求
，归纳数列的通项公式（不必证明）.
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
，
，
，
；
，
，
，
；
，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
，求
的值.
（3）设
为数列
的前项积，且
，求数列
的最大项.
【答案】（1）
，
，
，
；（2）2010；（3）
.
【解析】
（1）化简得到
，计算，，，猜想得到答案.
（2）计算
，再计算
，相加得到答案.
（3）计算
，故
，故
是单调递减，计算
得到答案.
（1）因为点
在函数
的图象上，故
，所以.令
，得
，所以；
令
，得
，所以；
令
，得
，所以；
由此猜想：.
（2）因为，所以数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
，
，
，
；
，
，
，
；
，
每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，
故
是第25组中第4个括号内各数之和.
由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以.
又，所以
.
（3）因为
，故
，
所以
.
由于
，
所以
，故是单调递减，
于是数列的最大项为
.
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