题目内容
【题目】如图,已知直线与抛物线()交于、两点,为坐标原点,.
(1)求直线的方程和抛物线的方程;
(2)若抛物线上一动点从到运动时(不与、重合),求面积的最大值.
【答案】(1), ;(2).
【解析】
1)设,,将直线方程代入抛物线的方程,运用韦达定理,由向量的坐标运算和点满足抛物线的方程,解方程可得,,即可得到所求直线和抛物线的方程;
(2)由直线和抛物线方程联立,运用韦达定理和弦长公式,可得,设 运用点到直线的距离公式,配方,由二次函数的最值求法,可得距离的最大值,进而得到面积的最大值.
(1)设,,
由得,由题意,,,
,即有,
则,所以,
由,得,
即,故,.
所以,直线的方程为,抛物线的方程为;
(2)由得,,,
所以
,
设,(),
因为为定值,所以当点到直线的距离最大时,的面积取最大值.
,
因为,所以当时,.
所以,当点坐标为时,的面积取最大值,
且.
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